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De quoi 2015 est-il le nombre ?

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Chaque nouvelle année, il y a une frénésie de formules qui circulent sur le nombre concerné, p.ex. 2015. Je m'y étais moi-même essayé en 2011ou en 2010. Je le rappelle pour 2011, c'est assez joli, il fallait faire 2011 avec :

1 1  1 1  1 1  1 1

L'idée était de mettre des signes d'opération au milieu, les quatre signes :

1+1  1–1  1×1  11

*

Plus classiquement, les formules portent généralement sur certaines propriétés arithmétiques du nombre-date. En ce début 2015, la « formule de l'année » (c'est le cas de le dire), qui fit florès sur Twitter, fut :

Tweet.jpg

Il bénéficia de plus de 1600 retweets (ce qui n'est pas rien !), mais parmi ces relayeurs, qui aura remarqué qu'il manquait un nombre dans la formule ? Vous l'avez remarqué bien sûr, il manque 32 dans la liste des puissances de deux pour qu'elle soit complète jusqu'à 1024. Non que la formule tweetée fût fausse, mais la formule « élégante » aurait comporté toutes les puissances de deux :

1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 2047

Donc plus que 32 ans à attendre, RV sur ce blog ou sur Twitter en 2047, THE real year.

Cette somme de puissances, de (20 = 1) à (210 = 1024) vaut, par une formule bien connue : 211– 1, ce qui est bien 2047 (si vous appelez S la somme, vous multipliez par 2, vous obtenez les mêmes chiffres sauf le premier et le dernier : 2S = 2048 + S – 1).

Ces nombres (2n - 1) sont appelés nombres de Mersenne, du nom du père Marin Mersenne (1568-1648), correspondant de Fermat et de Pascal. Plusieurs catégories existent de ces nombres : n non premier, n premier, et les nombres de Mersenne premiers (quand 2n– 1 est premier; dans ce cas il est nécessaire que n aussi soit premier).

**

Continuons cette twittographie. En ce qui me concerne, à propos du chiffre 2015, j'avais plutôt invité à réfléchir à sa décomposition en facteurs premiers (théorème fondamental de l’arithmétique), avec moins de succès – je l'avoue – en nombre de retweets.

Tweet2.jpg

Et j'obtins la remarque suivante de @ragoudvo, qui fut aussi ma première réaction.

TweetRagoudvo.jpg

403 (soit 2015 divisé par 5) n'est en effet pas un nombre premier, on a

 2015 = 5 × 13 × 31

Toujours sur Twitter, @lehonardeulerpi (c'est d'ailleurs son seul tweet, je l'en remercie) mentionna à notre attention un critère de divisibilité par 13. J'aurais dû me le rappeler, je l'avais déjà donné . Je résume ce critère pour les nombres à 3 chiffres. On prend le nombre de dizaines (pas le chiffre deS dizaines) qu'on ajoute au chiffre deS unités multiplié par 4, et si cette somme est divisible par 13, le nombre duquel on est parti l'est aussi.

Ex. pour la divisibilité de 403 par 13 : le nombre de dizaines est 40, le chiffre des unités est 3, on obtient 40 + 4 × 3 = 52, nombre divisible par 13 (52 = 4 × 13)

Le problème de ces critères, c'est comme les blagues, on les comprend et on les trouve amusants quand on les lit ou les entend, mais on ne se les rappelle jamais quand on en a besoin !

***

J'ajoute (V2 de ce billet) une autre décomposition, liée à la première ci-dessus, que Nicolas Vigneron (@belett) et Thierry Joffredo (@ti_dji) m'ont signalée :

TweetJoffredo.jpg

L'écriture en puissances de deux donnée ci-dessus conduit à l'écriture binaire suivante pour 2015 :

11111011111

Et là, merveille, c'est justement parce qu'il manque 32, l'épine dorsale du milieu, cruel manque se traduisant par un zéro unique — laissant cinq chiffres 1 à sa droite (les puissances de deux de 0 à 4) et cinq autres à sa gauche (les puissances de deux de 6 à 10) —, que l'écriture binaire de 2015 est un palindrome.

J'en profite pour souhaiter aux lecteurs de mon blog une bonne année 2015 — la période, ainsi que ce billet, s'y prêtent !


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